MODELAMENTO E GEOESTÁTISTICA

MODELO DIGITAL DE SUPERFÍCIES CONTÍNUAS


Conjunto de dados numéricos que descrevem a distribuição espacial de uma variável contínua.

 

Dados Analógicos

Imagem raster

Georreferenciamento

Escala ↔ Posição

Digitalização ↔  Vetorização

X, Y

Atribuição do valor da variável Z

Imagem Vetorial

Matriz X, Y, Z

 ↓

Interpolação

 

• MIT - Malha irregular triangular

 

Triangulação com interpolação linear

 

→ Grade

 

 

Malha regular

Interpolação Linear

Vizinho mais próximo

→ Inverso da potência da distância

Krigagem


TIPOS DE INTERPOLAÇÃO


Globais: interpolação utilizando todo conjunto de pontos – superfície de tendência, regressão polinomial, análise espectral.

 

Locais: interpolação utilizando pontos de uma região próxima ao ponto que está sendo interpolado – inverso da distância, krigagem, vizinho mais próximo, polígonos de Thiessen.

 

Determinísticos: não permitem a avaliação de erros associados aos valores interpolados - polígonos de Thiessen, inverso da distância.

 

Estocásticos: permitem a avaliação de erros de previsão com base na estimativa das variâncias - regressão polinomial, krigagem.

 

Exatos: os valores interpolados idênticos aos valores medidos - inverso da distância, krigagem, polígonos de Thiessen.

 

Inexatos: os valores interpolados são diferentes dos valores medidos. São utilizados para evitar isolinhas de geometria irreal - superfície de tendência, regressão polinomial.

                     


METÓDOS DE INTERPOLAÇÃO


Interpolação linear:

A interpolação é executada considerando que existe um gradiente contínuo e regular entre dois pontos amostrados.

 

Vizinho mais próximo:

O valor interpolado é igual ao valor do ponto amostrado mais próximo

 

Inverso da distância:

 Os valores interpolados são função da distância e magnitude dos pontos amostrados adjacentes. O inverso da potência da distância é utilizado para atenuar a influência de pontos distantes. Esse processo é baseado no pressuposto de existência de correlação espacial positiva.

 Krigagem

O valor interpolado é obtido por uma média ponderada dos valores dos pontos amostrados em função da distância, considerando que a estrutura dos dados amostrados é isotrópica, sendo que a distância entre os pontos pode ser medida independente de sua situação relativa.

A formulação básica do método assume que a variação espacial do valor interpolado pode ser expressa como a soma de 3 componentes.

O primeiro componente pode ter um valor médio constante ou associar-se a uma superfície de tendência.

Esta superfície de tendência não explica toda a variação dos dados amostrados.

O segundo componente representa os desvios ou resíduos sem considerar um erro aleatório de medidas, considerando apenas uma variável cuja distribuição é explicada em termos de correlação espacial.

O terceiro componente representa um termo residual de erro aleatório e não correlacionado espacialmente

O método de krigagem dá enfasis ao tratamento do segundo componente através da análise da correlação espacial entre os dados, considerando que seu valor é função da distância entre eles.

Sendo o valor de ponto relacionado com os valores dos pontos vizinhos distribuídos a distâncias variáveis, a influência dos pontos mais distantes é menor do que a influência dos pontos mais próximos.

A krigagem estima a variação de valores em função da distancia através da medida da covariância entre os dados separados por diferentes distâncias, utilizando a semivariança das diferenças.

O variograma estabelece o valor da distância para a qual os dados podem ser considerados independentes entre si. Este valor de distância estabelece um limite superior para a área utilizada na interpolação, pontos situados à distância maiores não incluem nenhuma informação de interesse.

O valor do erro esperado para cada ponto interpolado é função dos valores de semivariança observados para os dados.

 

Outros métodos:

Múltipla regressão linear

Mínima curvatura

Média móvel

  Ponderação direcional

  Regressão polinomial


MODELOS DERIVADOS


ANÁLISE ESTATÍSTICA DE VARIÁVEIS LINEARES

 

A descrição estatística de variáveis lineares deve incluir:

 

Valores mínimo e máximo;

Distribuição;

Média aritmética;

Mediana;

Desvio Padrão;

Distribuição de freqüências,

Variança.

 

MODELOS DERIVADOS

 

A partir do MDSC, representado por uma matriz [X, Y, Z], aplicando-se as operações do cálculo matricial, é possível gerar modelos derivados.

 

GRADIENTE

 

No MDSC a variável Z próxima a um ponto pode ser descrita de forma aproximada através de um plano:

 

Z = a00+a10* X +a01* Y

 

Os coeficientes a10 e a01 são as derivadas primeiras da variável Z em relação aos eixos X e Y.

 

a10= d Z / d X

a01= d Z / d Y

 

Os coeficientes a10 e a01 podem ser representados por vetores (V, W) definidos pelos valores das componentes para os eixos X, Y, Z.

 

O produto vetorial de dois vetores (V x W) é um vetor (P) normal ao plano que contêm os dois vetores.

 

O vetor (P) é o gradiente de Z no ponto X, Y.

 

INCLINAÇÃO

 

A inclinação (g) em um ponto é o ângulo entre o vetor gradiente (P) neste ponto e o eixo vertical H=[0 0 1].

 

g= cos-1[((P).(H)) / mod(P).mod(H)] = 1/ [(a10)2+(a01)2+1]

 

g= tan-1 [(a10)2+(a01)2]

 

 

SENTIDO – AZIMUTE

 

O sentido ou azimute em um ponto é o ângulo (f) entre o vetor norte (N=[1,0,0]) e a projeção sobre o plano horizontal do vetor gradiente (P=[- a10,- a01,0]), a direção do vetor gradiente é de máxima variação da função ou da variável Z.

 

cosf = [((P).(N)) / mod(P).mod(N)] = a10 / [(a10)2+(a01)2]

 

f = tan-1 (a10/ a01)

 

CURVATURA

 

A curvatura h em um ponto é a taxa de variação da inclinação no ponto e depende das derivadas segunda da variável Z, é a soma das derivadas parciais de segunda ordem em relação aos eixos X e Y.

 

h= d2 Z / d X 2 + dZ2 / d Y 2

 

As derivadas são calculadas a partir da expressão de uma superfície de segundo grau:

 

Z = a00 + a10 X + a01 Y + a11 X. Y + a20 X 2 + a02 Y 2

 

As derivadas primeira são:

 

d Z / d X = a10+2 a20 * X + a11 * Y

 

d Z / d X = a01+2 a02 * Y + a11 * X

 

As derivadas segunda são:

 

d2 Z / d X 2= 2 a20

 

d2 Z / d Y 2= 2 a02

 

A curvatura no ponto é:

 

h= 2*(a20 + a02)

 

 

 

 


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